Matemática básica Ejemplos

$\frac{a^{2} - 14 a + 49}{a^{2} - a - 42} \div \frac{a^{2} - 49}{7}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{a^{2} - 14 a + 49}{a^{2} - a - 42} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 14 a + 7^{2}}{a^{2} - a - 42} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 a = 2 \cdot a \cdot 7$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 7 + 7^{2}}{a^{2} - a - 42} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 7$ .

$\frac{{(a - 7)}^{2}}{a^{2} - a - 42} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Paso 3

Factoriza $a^{2} - a - 42$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 42$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 7, 6$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{{(a - 7)}^{2}}{(a - 7) (a + 6)} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Paso 4

Cancela el factor común de ${(a - 7)}^{2}$ y $a - 7$ .

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Paso 4.1

Factoriza $a - 7$ de ${(a - 7)}^{2}$ .

$\frac{(a - 7) (a - 7)}{(a - 7) (a + 6)} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 7) (a - 7)}{(a - 7) (a + 6)} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{a^{2} - 49}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{a^{2} - 7^{2}}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 7$ .

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{(a + 7) (a - 7)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $a - 7$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $a - 7$ de $(a + 7) (a - 7)$ .

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{(a - 7) (a + 7)}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{a - 7}{a + 6} \cdot \frac{7}{(a - 7) (a + 7)}$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{a + 6} \cdot \frac{7}{a + 7}$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{a + 6}$ por $\frac{7}{a + 7}$ .

$\frac{7}{(a + 6) (a + 7)}$